Lycée Giocante de Casabianca

Mardi 2 Juin 2020

ENT et Pronotes

Académie de Corse

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U manuale di corsu :« Isula Mondi »

La constante d'Euler au BAC S 2012

Convergence de la suite (Un) définie par Un = 1 + 1/2 +1/3 + ... + 1/n -ln(n).


La constante d'Euler au BAC S 2012
L'exercice 3 du BAC S de juin 2012 avait pour objet l'étude de la suite (Un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - ln(n).
On démontre dans cet exercice que cette suite est convergente.
Sa limite est appelée constante d'Euler. Une valeur approchée de cette constante est 0,5772156649 et on ne sait toujours pas, à l'heure actuelle, si ce nombre est rationnel ou irrationnel.

Leonhard EULER (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783)

Le mathématicien suisse Leonhard EULER est fils et petit fils de pasteurs protestants. Ses parents sont pauvres et vivent dans une petite maison près de Bâle et c'est dans cette ville qu'il suit des études secondaires, dans une école où les mathématiques ne sont pas enseignées. A treize ans, il entre à l'université de Bâle où il étudie la philosophie et le droit. Remarquant son talent, Jean BERNOULLI l'encourage à étudier les mathématiques et vient chaque samedi lui donner des cours particuliers. Diplômé de philosophie à seize ans, il entre dans le département de théologie pour répondre aux désirs de son père qui veut le voir devenir pasteur. Mais Euler continue à travailler les mathématiques, se met à publier et acquiert une certaine notoriété. Malheureusement, la Suisse offre peu de possibilités pour une carrière de mathématicien, mais, grâce à l'intervention de Nicolas et Daniel BERNOULLI, EULER trouve en 1727 une place à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg.
L'année 1733 est un tournant dans la vie d’Euler. Le départ de Russie de Daniel BERNOULLI lui permet d'obtenir le poste de professeur de mathématiques à l'Académie et il devient en même temps responsable du département de géographie. A ce titre, il est chargé d'élaborer une carte de Russie. La même année il épouse la fille d'un artiste russe. Ils ont treize enfants et EULER reste célèbre pour la patience qu'il déploie avec sa progéniture et pour son aptitude à jouer tout en rédigeant un article. Une fièvre brutale lui fait perdre l'usage de l’œil droit.
Sur l'invitation de Frédéric le Grand, EULER quitte la Russie pour l'Académie de Berlin que le souverain prussien désire réorganiser. C'est alors qu'il publie ses grands ouvrages de synthèse, en particulier l'Introduction à l'analyse. EULER ne s'habitue jamais à l'ambiance de la Cour. Frédéric le Grand préfère les esprits brillants comme Voltaire aux scientifiques efficaces, et il traite le savant suisse de Cyclope mathématique. A l'invitation de Catherine II, EULER retourne à Saint-Pétersbourg avec sa famille, son fils aîné obtient même une chaire de physique. Malheureusement, EULER est bientôt atteint par la maladie et il devient complètement aveugle en 1771. Ceci n'altère pas son flot de publications. Il dicte inlassablement ses textes à ses fils ou à son valet. Le succès de son livre Introduction à l'algèbre, d'une clarté étonnante, est probablement dû à la nécessité qu'il a, en dictant, de se faire comprendre. Il s'éteint à l'âge de soixante-seize ans alors qu'il boit tranquillement le thé avec des amis.
Son œuvre colossale aborde tous les domaines des mathématiques. Il donne son essor à l'analyse grâce aux nouveaux outils du calcul différentiel et intégral, il développe la géométrie différentielle et ses travaux en théorie des nombres sont de tout premier plan. Touchés par sa gentillesse, effarés par sa mémoire exceptionnelle - il peut réciter les neuf mille vers de l'Enéide par cœur - mais surtout impressionnés par la quantité et la qualité de son œuvre, ceux qui l'ont côtoyé le considèrent comme le plus grand mathématicien de tous les temps.

EULER est le fondateur de la théorie des fractions continues. Dans un article publié en 1737, il montre qu'un nombre est rationnel si et seulement si son expansion en fraction continue est finie. Il donne celle de e - 1 et de (e + 1)/(e - 1) et en déduit l'irrationalité du nombre e. LAMBERT s'inspirera de cette méthode pour prouver l'irrationalité de pi. Bien qu'il n'ait pas écrit d'ouvrage sur la théorie des nombres, EULER se passionne sur ce sujet. Dans un article publié en 1732, il prouve que le cinquième nombre de Fermat n'est pas premier. Quatre ans plus tard, il démontre le petit théorème de Fermat. Il le généralise en 1760 en introduisant ce qu'on appelle maintenant l'indicateur d'Euler d'un entier naturel non nul n. EULER démontre le grand théorème de Fermat pour n = 3 et il conjecture que n puissances n-ièmes sont nécessaires pour écrire une puissance n-ième. Cette conjecture est infirmée en 1996 car la somme des quatre puissances cinquièmes de 27, 84, 110 et 133 suffit à obtenir la puissance cinquième de 144. EULER prouve que tout entier naturel est la somme de quatre carrés et démontre la conjecture d'Euclide sur les nombres parfaits.
L'amitié d' EULER pour les frères BERNOULLI le pousse à réfléchir au calcul des probabilités. Il s'intéresse aux problèmes de loteries, d'espérance de vie, de calculs d'annuités et d'autres applications des mathématiques aux sciences sociales.

Cependant, l’œuvre principale d' EULER réside dans le développement de l'analyse. Le premier, il cherche à définir précisément une fonction. C'est pour lui une expression analytique qui dépend d'une quantité variable, de constantes et de nombres. Il étudie des fonctions définies par des intégrales, il intègre la trigonométrie à l'analyse en considérant, le premier, les fonctions cosinus et sinus comme des fonctions d'une variable réelle. Il introduit en 1740 les exposants complexes et prouve les identités d'Euler. Il s'émerveille de la formule e^(ipi) + 1 = 0 qui lie les cinq nombres fondamentaux que sont 0, 1, i, e et pi.
Dans le premier volume de Introductio ... il s'intéresse à des développements en série, mais il se soucie peu des problèmes de convergence. On lui doit le calcul de sommes de nombreuses séries. Si les résultats sont justes, les démonstrations manquent parfois de rigueur.
Dans son ouvrage Institutiones ... EULER fournit une véritable synthèse de toutes les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires : utilisation du facteur d'intégration ; recherche des solutions de l'équation homogène, d'une solution particulière puis de toutes les solutions. Il donne la méthode de résolution de l'équation différentielle qui porte aujourd'hui son nom par le changement de variable x = exp(t ), et de l'équation de RICCATI lorsqu'on connaît déjà une solution.
EULER n'est pas un spécialiste de géométrie et ses études dans cette branche ont souvent pour but de se ramener à l'analyse qu'il affectionne. Jusque là les études de courbes sont en général faites par des méthodes purement géométriques. EULER utilise les méthodes actuelles, graphe de fonctions, courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes ou polaires, et il admet un rayon vecteur négatif. L'utilisation dès 1728 des coordonnées dans l'espace lui permet de donner les équations de cônes, de cylindres et plus généralement de surfaces de révolution. Il classe les surfaces en fonction du degré de leur équation et il introduit les quadriques, analogue des coniques en dimension deux. On lui doit aussi des études sur les surfaces développables.
Les écrits d' EULER sont très clairs. Il introduit des symboles nouveaux et des notations pratiques qui souvent nous sont parvenus. C'est lui qui introduit, en 1728, la lettre e pour désigner la base du logarithme népérien, qui impose la lettre grecque pi pour désigner le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre (notation introduite en 1706 par W. JONES) et qui, en 1777, introduit la lettre i pour remplacer la notation "racine carrée de - 1" qui était source de confusions (GAUSS généralisera l'emploi de la notation d' EULER).
Certes EULER n'a pas introduit de grandes théories nouvelles, comme NEWTON ou RIEMANN, mais son Introductio ... définit, en 1748, un nouveau cadre d'étude qui intègre le calcul différentiel et plus généralement les processus infinis : c'est ce qu'on appelle dorénavant l'Analyse. On peut dire qu' EULER est à NEWTON et LEIBNIZ ce que' EUCLIDE est à EUDOXE ou THEETETE.

Source : DES MATHÉMATICIENS DE A à Z (Bertrand HAUCHECORNE et Daniel SURATTEAU Éditions ellipses).



              
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