Lycée Giocante de Casabianca

Mardi 2 Juin 2020

ENT et Pronotes

Académie de Corse

Ministère E.N.

BASTIA








U manuale di corsu :« Isula Mondi »

Le dernier théorème de Fermat


  • Dans les années 30, un magistrat corse, M° Pierre Simon SCAMPUCCI né le 07 janvier 1876 à Bastia , avocat à la Cour d’Appel de Bastia, ancien magistrat et chevalier de la Légion d’Honneur, avait écrit en 1933, un étonnant document sur la démonstration du fameux théorème de Fermat, article publié à la librairie COSTA, Boulevard du Palais à Bastia. Cette tentative de résolution, était vouée à l’échec car ce théorème a tenu en haleine tous les plus grands mathématiciens et scientifiques de l’époque et ce pendant près de quatre siècles.
En effet, le théorème de Fermat est une aventure qui a commencé en 1641. Il a inspiré des générations de mathématiciens pendant 353 années.
Mathématicien amateur, mais grand mathématicien s'il en fut, Pierre de Fermat est à l'origine d'une énigme qui, pendant plus de 350 ans, a retenu l'attention de ses pairs, amateurs et professionnels, au point d'entrer dans l'inconscient collectif de la communauté mathématique.

Le magistrat bastiais, a, au travers d’un recueil de huit pages tenté une démonstration de ce théorème, avec beaucoup de rigueur et de brio mais sans y parvenir, sauf pour la partie où n = 4, mais cela avait déjà été démontré par Fermat lui-même.
Il faudra attendre le 19 septembre 1994, et le mathématicien anglais Andrew Wiles, pour qu'après nombre de progrès, le théorème de Fermat soit entièrement résolu. La démonstration de Wiles prend environ 1000 pages.

Qui était Pierre de Fermat ?

Le dernier théorème de Fermat
Pierre Fermat est né le 17 août 1601 à Beaumont-de-Lomagne, dans le Tarn-et-Garonne. Issu d’une famille bourgeoise, il fait ses études à Toulouse qu’il poursuit à Orléans pour devenir bachelier en droit civil. En 1630, il est nommé conseiller du roi à la Chambre des requêtes. Par ailleurs, ses hautes responsabilités parlementaires lui permettent d’ajouter une particule de noblesse à son nom pour devenir Pierre de Fermat. Ses activités scientifiques pour lesquelles il s’adonne en amateur, le consacrent comme un génie de son temps. Il ne s’intéresse aux mathématiques que par plaisir, adore la démonstration et propose des méthodes innovantes. Pourtant Fermat ne publiera rien de son vivant ; l’essentiel de ses travaux se dispersent au travers de correspondances avec quelques-uns des plus grands scientifiques de son temps tels que Galilée (1564 ; 1642), René Descartes (1596 ; 1650), Blaise Pascal (1623 ; 1662) ou Marin Mersenne (1588 ; 1648). Il était un génial mathématicien français du XVIIe s, qui a contribué avec Descartes à la création de la géométrie analytique (il est le premier à donner une méthode générale pour la détermination des tangentes à une courbe plane), à celle du calcul infinitésimal (avec Leibniz et Newton), et à celle du calcul des probabilités (avec Pascal). C'est surtout le fondateur de la théorie moderne des nombres, la branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers. Fermat a été très influencé par la lecture des classiques de l'Antiquité, notamment celle de Diophante, mathématicien grec auteur de l'Arithmetica, que les européens ont redécouverte au milieu du XVIe s. Fermat annotera abondamment la marge de son exemplaire (son fils rééditera l'Arithmetica avec les notes de Fermat). Il était annoncé, plus rarement prouvé, de nombreux théorèmes. En 1840, tous étaient démontrés ou invalidés. Tous sauf un : la conjecture appelée grand théorème de Fermat, qui a maintenu les mathématiciens en haleine jusqu'en 1994. En marge du problème qui consiste à trouver des carrés qui sont sommes de deux autres carrés (on appelle cela chercher des triplets pythagoriciens, car il s'agit des triangle rectangle - ex : 5² = 3² + 4²). Fermat écrivit : "D'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus généralement aucune puissance supérieure stricte à 2 n'est somme de deux puissances analogues. J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l'écrire dans cette marge car elle est trop longue". On ne saura jamais si Fermat avait réellement une preuve de son théorème, c'est peu probable, mais après tout qu'importe ! Ces quelques lignes déchaînent des passions parmi les mathématiciens de l’époque, qui s’évertuent à démontrer ce théorème ou à l’infirmer en trouvant un contre-exemple. On démontre d’abord aisément les cas n = 3 et n = 4, puis d’autres cas particuliers de n. Au fil des siècles, les chercheurs se rapprochent du cas général, essayant vainement de retrouver cette fameuse démonstration de Fermat, qui devait être vraisemblablement fausse. En 1850, un mathématicien allemand, Ernst Kummer, réussit à démontrer le théorème pour les entiers inférieurs à 100, sauf 37, 59, 67 et 74. En 1908, un prix de 100 000 marks est même offert par l’université de Göttingen en Allemagne, pour récompenser la personne qui trouvera une démonstration (et non un contre-exemple) avant 2007. Cette récompense ne fut jamais distribuée. Partiellement démontré par ordinateur, pour des exposants atteignant 125 000, le théorème n’est finalement démontré qu’en 1994 par le mathématicien britannique Andrew Wiles, dont la démonstration fait appel à des concepts mathématiques que Fermat ne pouvait connaître.

Andrew WILES, le mathématicien qui a résolu le dernier théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat
Andrew Wiles a déjà réservé une place éminente dans l'histoire des mathématiques, en démontrant un des problèmes les plus difficiles des mathématiques, qui résistait depuis trois siècles et demi aux efforts des plus grands mathématiciens et aux théories les plus raffinées, le grand théorème de Fermat. L'histoire même de la découverte de sa démonstration par Wiles est extrêmement romantique.

Andrew Wiles est anglais, né à Cambridge en 1953. Il apprend l'existence de la conjecture de Fermat (appelée alors improprement théorème), à l'âge de dix ans, en lisant un livre, et commence dès lors à s'y intéresser. D'énoncé très simple, elle postule que l'égalité en entiers non nuls xn + yn = zn est impossible si n>2, et tous les mathématiciens, depuis plus de 300 ans, ont échoué à la démontrer dans toute sa généralité. Wiles mène des études, puis une carrière de mathématicien, très brillantes. C'est alors qu'il réalise, en 1986, que l'attaque de la conjecture de Fermat, même si elle est très difficile, devient possible. L'opinion générale demeure cependant qu'entreprendre cette démonstration constitue une tâche impossible et vaine. Wiles décide alors, d'une part de concentrer toute son énergie sur ce problème, et d'autre part, de ne faire part à personne de son travail, pour ne pas être perturbé par le scepticisme ambiant ou les curiosités intempestives. Ses recherches restent donc secrètes pendant sept ans ! Il occupe pendant ce temps un poste de professeur à l'Université de Princeton, aux États-Unis.
Après des années de travail acharné, de succès et de découragements, le mercredi 23 juin 1993 à 10 h 30 du matin, à Cambridge (G. B.), il annonce qu'il a démontré la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil dans un cas particulier suffisant à entraîner la conjecture de Fermat. Mais, lors de la révision de sa démonstration, on se rend compte qu'il y a un "trou", qui compromet totalement sa validité ! Tout ce travail risque de s'avérer presque vain. Wiles recommence à travailler, dans l'angoisse pendant de longs mois, avec l'aide de son collègue Richard Taylor. Au bout de 14 mois, le 19 septembre 1994, en essayant de voir dans le détail pourquoi la méthode qu'il a utilisée ne fonctionne pas Wiles finit par "recoller les morceaux", en réemployant une idée qu'il a eue lors d'une période antérieure de ses essais sur la Conjecture. Le 6 Octobre, il envoie sa nouvelle preuve à trois de ses collègues. Tous apprécient cette nouvelle preuve, sensiblement plus simple que la précédente, dont la validité ne fait désormais aucun doute. Seuls 200 mathématiciens au maximum au monde sont capables de saisir tous les détails de la démonstration. C'est probablement la démonstration la plus épluchée de l'histoire des mathématiques

Andrew Wiles, ayant plus de 40 ans, ne put recevoir la plus haute distinction pour un mathématicien, la médaille Fields, qu'il méritait pourtant ; aussi le Congrès international des mathématiciens le récompensa par un prix spécial, lors de l'attribution des médailles Fields 1998.



              
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